P1006 [NOIP2008 提高组] 传纸条

February 28, 2023

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# [NOIP2008 提高组] 传纸条

## 题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 $(1,1)$，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 $(m,n)$。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 $0$ 表示），可以用一个 $[0,100]$ 内的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

## 输入格式

第一行有两个用空格隔开的整数 $m$ 和 $n$，表示班里有 $m$ 行 $n$ 列。

接下来的 $m$ 行是一个 $m \times n$ 的矩阵，矩阵中第 $i$ 行 $j$ 列的整数表示坐在第 $i$ 行 $j$ 列的学生的好心程度。每行的 $n$ 个整数之间用空格隔开。

## 输出格式

输出文件共一行一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

## 样例 #1

### 样例输入 #1

```
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
```

### 样例输出 #1

```
34
```

## 提示

**【数据范围】**

对于 $30\%$ 的数据，满足 $1 \le m,n \le 10$。
对于 $100\%$ 的数据，满足 $1 \le m,n \le 50$。

**【题目来源】**

NOIP 2008 提高组第三题。

## AC

方格取数 ACwing 1029

```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;

int dp[N][N][N], v[N][N], n, m;

int main(){
    cin >> n >> m;
  
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        for (int j = 1; j <= m; j++) cin >> v[i][j];
  
    n = max(n, m);  
  
    for (int k = 2; k <= n + n; k++)
        for (int i1 = 1; i1 <= n; i1++)
            for (int i2 = 1; i2 <= n; i2++) {
                int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
                if (i1 >= 1 && i2 >= 1 && j1 <= n && j2 <= n) {
                    int t = v[i1][j1];
                    if (i1 != i2) t += v[i2][j2];
                    dp[k][i1][i2] = max(dp[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t, dp[k][i1][i2]);
                    dp[k][i1][i2] = max(dp[k - 1][i1][i2 - 1] + t, dp[k][i1][i2]);
                    dp[k][i1][i2] = max(dp[k - 1][i1 - 1][i2] + t, dp[k][i1][i2]);
                    dp[k][i1][i2] = max(dp[k - 1][i1][i2] + t, dp[k][i1][i2]);
                }
            }
  
    cout << dp[n + n][n][n];
  
    return 0;
}
```

Last modification：February 28, 2023